Первая и вторая теоремы о среднем

Пусть: - $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$ - $\exists{m, M}\mathpunct{:}~~ \forall{x \in [a, b]}\mathpunct{:}~~ m \leq f(x) \leq M$ - $\forall{x \in [a, b]}\mathpunct{:}~~ g(x) \geq 0$ Тогда: $$\exists{\mu \in [m, M]}\mathpunct{:}~~ \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = \mu \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$

Знаем: $m \leq f(x) \leq M$. Домножим на $g(x)$ и воспользуемся интегрированием неравенств: $$g(x)m \leq f(x)g(x) \leq Mg(x) \implies m\int_{a}^{b} g(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx \leq M\int_{a}^{b} g(x) \, dx ~~~~(*)$$ Возможны 2 случая: **Случай 1** $\int\limits_{a}^{b} g(x) \, dx = 0$, тогда по интегрированию неравенств:$$m\int\limits_{a}^{b} g(x) = 0\leq \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) \leq 0 = M\int\limits_{a}^{b} g(x) \ dx \implies \int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) = 0$$ значит $\mu$ - любое **Случай 2** $\int\limits_{a}^{b} g(x) \, dx \neq 0$, тогда поделим $(*)$ на него: $$m \leq \dfrac{\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx}{\int\limits_{a}^{b} g(x) \, dx} \leq M$$ В качестве $\mu$ возьмём выражение, стоящее посередине. $~~~\square$

Пусть: - $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$ - $f(x)$ - убывает на $[a, b]$ - $\forall{ x \in [a, b]}\mathpunct{:}~~ f(x) \geq 0$ Тогда: $$\exists{\xi \in [a, b]}\mathpunct{:}~~ \int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) \, dx$$ Если $f(x)$ возрастает и $f(x) \geq 0$, то: $$\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) \, dx$$ Если знак $f(x)$ неизвестен, то: $$\int_{a}^{b} f(x)g(x) \, dx = f(a) \int_{a}^{\xi} g(x) \, dx + f(b) \int_{\xi}^{b} g(x) \, dx$$